\section{Transição de fase \label{sec:transicao}}

Na transição de fase há uma alteração nas propriedades do material, que em geral se manifesta por uma serie de eventos associados. Algumas transições são caracterizadas pelo calor latente e pela descontinuidade das variáveis de estados extensivas que caracterizam cada fase, mas há transições em que não há calor latente ou descontinuidade dessas variáveis de estado.

As características das transições de fase podem diferir muito, por isso um critério  de classi\-fi\-cação,  baseado nos potenciais termodinâmicos, foi proposto por Ehrenfest  e estendido posteriormente por Fisher (veja, por exemplo, Stanley \cite{stanley1987introduction}). Neste sistema, as transições são classificadas de acordo com as propriedades das derivadas da correspondente energia livre.  Assim, transições acompanhadas de descontinuidade em quantidades que são derivadas de primeira ordem dos potenciais termodinâmicos são classificadas como transição de primeira ordem. São consideradas transições de fase de segunda ordem quando os potenciais termodinâmicos e suas primeiras derivadas são contínuas, mas suas segundas derivadas são nulas ou tendem a infinito. Transição de segunda ordem ou ordem superior não apresenta calor latente e as fases são indistinguíveis no ponto crítico, sendo também chamadas de transições de fases contínuas. 

A transição de segunda ordem é acompanhada por uma mudança ou quebra de simetria do sistema,  que está associada a um parâmetro de ordem. O conceito de parâmetro de ordem foi introduzido por Landau em 1935 \cite{landau1937second,stanley1987introduction}. Este parâmetro, em geral, é uma quantidade termodinâmica de caráter extensivo, sendo zero na fase mais simétrica (desordenada) e diferente de zero na fase menos simétrica (ordenada).  No modelo XY, por exemplo, o parâmetro de ordem é a magnetização no plano como descrito na próxima seção.

No ponto crítico, várias grandezas termodinâmicas apresentam comportamento peculiar, como uma divergência apresentada no calor específico e na susceptibilidade magnética. O estudo do comportamento de sistemas quando a temperatura $T$ tende à temperatura crítica $T_c$, com a determinação de seu comportamento na vizinhança da criticalidade, é um dos objetos primordiais de investigação no estudo de fenômenos críticos. Observações experimentais, soluções analíticas de alguns modelos e o emprego da técnica do grupo de renormalização mostram que, quando $T \rightarrow T_c$, esse comportamento pode ser descrito por leis de potência simples, caracterizadas pelos chamados expoentes críticos.  Por exemplo, para um sistema magnético, que é o objeto de nosso estudo, o parâmetro de ordem $m$, a susceptibilidade magnética $\chi$, o calor específico $c_v$ e o comprimento de correlação $\xi $ comportam-se, respectivamente, como
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\begin{eqnarray}
m = m_0 |t|^\beta , \\ 
\chi  = \chi _0 |t|^{ - \gamma },\\ 
c_v  = c_0 |t|^{ - \alpha }, \\ 
\xi  = \xi_0 |t|^{ - \ni }, \\ 
\end{eqnarray}
%
onde $t$ é a temperatura reduzida, definida por $t = \left( {T - T_c} \right)/T_c$, $m_0$, $\chi_0$, $c_0$ $\xi_0 $ são constantes, e
$\beta,~ \gamma,~\alpha,~\nu$ são os correspondes expoentes críticos.   


Um fato muito interessante, e de fundamental importância, é que sistemas distintos podem apresentar os mesmos valores para os expoentes críticos, definindo então as chamadas classes de universalidade. Por exemplo, o modelo XY de spin-$1/2$ pertence à mesma classe de universalidade do modelo rotor planar e do modelo XY clássico,  visto que a classe de universalidade independe do spin, dependendo apenas da dimensão espacial do sistema, das simetrias do parâmetro de ordem, e do alcance das ligações. Sistemas desordenados, por outro lado, podem mudar de classe de universalidades com a desordem. Este problema em especial será apresentado em mais detalhes na próxima seção. 
  
Sistemas pertencentes à mesma classe de universalidade apresentam, além dos mesmos expoentes críticos, funções universais, isto é, funções, para diferentes sistemas, que podem ser superpostas por um simples reescalamento de variáveis. Esse fato foi relatado pela primeira vez por Guggenheim, que observou que as curvas de coexistência para diferentes fluidos recaem na mesma função universal quando a temperatura e a densidade são escaladas por seus respectivos valores críticos $T_c$ e $p_c$, sendo $p_c$ a press\~ao cr\'\i tica \cite{stanley1987introduction}. 

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 8cm]{figuras/ilustracao/vav.jpeg}
\end{center}
\caption{Vórtices (centro marcado em azul) e antivortes (centro marcado em vermelho) no modelo XY (retirado do programa STP XYModel \cite{Gould2009}).}
\label{fig:vav}
\end{figure} 

Embora o modelo XY apresente uma transição de segunda ordem em três dimensões, em duas dimensões o modelo não apresenta quebra espontânea de simetria em nenhuma temperatura finita, propriedade que foi rigorosamente demonstrada no teorema de Mermin e Wagner \cite{Mermin1966}. O teorema prova que nenhuma magnetização espontânea pode surgir num sistema bidimensional que apresente spins com simetria contínua. Contudo, apesar do modelo XY não apresentar ordem de longo alcance, Kosterlitz e Thouless \cite{kosterlitz1973ordering}, e independentemente Berenzinskii \cite{Berezinskii1971}, perceberam que a uma determinada temperatura excitações topológicas estáveis formada por pares de vórtices antivórtices ( 
Figura \ref{fig:vav}) sofrem uma transição com a desvinculação dos pares. Esta transição, conhecida como Berenzinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT), é uma transição de ordem infinita entre um estado de ordem topológica  para um estado de desordem.

A transição BKT apresenta propriedades muito distintas das transições de segunda ordem. Na temperatura de transição BKT ($T _{BKT}$), o comprimento de correlação e a susceptibilidade no plano divergem exponencialmente com $T _{BKT}$ com uma lei dada pela equação
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\begin{equation}
\label{eq:hamiltoniano}
\xi  \sim a_\xi  e^{b_\xi  (T - T_{BKT} )^{ - \frac{1} 
{2}} } ,
\end{equation}
%  
\begin{equation}
\label{eq:hamiltoniano}
\chi  \sim a_\chi  e^{b_\chi  (T - T_{BKT} )^{ - \frac{1}
{2}} } ,
\end{equation}
%
e permanece infinita para $T<T _{BKT}$. Nas equações acima $a_\xi, ~b_\xi,~a_\chi,~b_\chi$ são constantes. Dessa forma, tem-se uma  linha con\'\i nua de pontos de transi\c c\~ao para temperaturas abaixo da temperatura BKT. 

A função de correlação das flutuações das componentes de spin no plano decai exponencialmente  acima de $T _{BKT}$ e a baixo de $T _{BKT}$ decai com uma lei de potência expressas, respectivamente, por 

\begin{equation}
\label{eq:mqtc}
\left\langle {{\mathbf{s}}_i^x {\mathbf{s}}_{i + r}^x  + {\mathbf{s}}_i^y {\mathbf{s}}_{i + r}^y } \right\rangle  \sim e^{-\frac{r}{\xi }}, 
\end{equation}
% 
\begin{equation}
\label{eq:eta}
\left\langle {{\mathbf{s}}_i^x {\mathbf{s}}_{i + r}^x  + {\mathbf{s}}_i^y {\mathbf{s}}_{i + r}^y } \right\rangle  \sim \frac{1}
{{r^\eta  }}.
\end{equation}

O expoente $\eta$ é definido na equação \ref{eq:eta}. Ele é uma função da temperatura e varia de $0$ ($T=0$) a $1/4$ ($T=T_{BKT}$). Uma outra propriedade da transição BKT é o comportamento do calor específico como função da temperatura. Em contraste com a transição de fase de segunda ordem, esta função não apresenta divergência na temperatura de transição, mas apenas um máximo que está localizado levemente acima dessa temperatura, como mostrado na Figura \ref{fig:calor}.  
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\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 8cm]{figuras/ilustracao/becker.jpg}
\end{center}
\caption{Calor específico do modelo XY bidimensional numa rede triangular, o ponto marca a temperatura de transição BKT \cite{Berker1979}}
\label{fig:calor}
\end{figure}



